Media Proporcional

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Ángulos dentro & fuera de la circunferencia

Ángulo central:

 El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente. 

 

Ángulo inscrito:

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. 
Mide la mitad del arco que abarca. 

 

Ángulo semi-inscrito:

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. 
Mide la mitad del arco que abarca.

 

Ángulo interior:

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados. 

 

Ángulo exterior:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella. 

  

Lugares geométricos relacionados con la circunferencia

Circunferencia: Es el LG de los puntos que equidistan de uno, llamado centro.

- Ángulo: entre dos rectas que se cortan en un punto V o vértice, es la amplitud del arco comprendido entre ambas cuyo centro es V.
- Ángulos complementarios: son los que suman 90º y suplementarios 180º.
- Ángulo central: En una circunferencia es el ángulo cuyo vértice está en el centro, la medida del ángulo es la del arco de circunferencia que abarca.
- Ángulo inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está en la circunferencia, su medida es la mitad que la del arco que abarca.

Ángulos de los polígonos

ÁNGULOS INTERNOS:

Si un polígono tiene "n" de lados, la suma de sus ángulos interiores vale:

180°(n-2)

180°(5-2)

180°(3)

R= 540°

ÁNGULOS EXTERNOS:

Es el formado por un lado & la prolongación de un lado consecutivo.

Fórmula= (n-2)180°/n

(5-2)180°/5

3(180°)/5

540°/5

R= 180°

Clasificación de polígonos

SEGÚN SUS LADOS PUEDEN SER:

 -Triángulo de 3 lados.

-Cuadrilátero de 4 lados.

-Pentágono de 5 lados.



-Hexágono de 6 lados.



-Heptágono de 7 lados.



-Octágono de 8 lados.



-Eneágono de 9 lados.



-Decágono de 10 lados.



-Etc.

SEGÚN SUS LADOS:

-Cóncavos:
Si un ángulo mide más de 180° & si una de sus diagonales es exterior.


-Convexos:
Si sus ángulos miden menos de 180° & si sus diagonales son interiores.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.







El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Lo podemos aplicar en los problemas cotidianos, por ejemplo:

Suponiendo que la pared de un edificio es de 90º al piso, el teorema de Pitágoras puede usarse para encontrar el lado faltante del triángulo recto que forma. Ejemplo: Un escalera de 25 pies (7,6 m) se inclina contra un edificio de tal forma que la base de la escalera es de 7 pies (2 m) alejado del edificio. ¿Qué tan lejos del edificio puede alcanzar la parte alta de la escalera? 

Respuesta: 24 pies (7,3 m). 

Teorema Tales de Mileto

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados sonproporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si cumplen con....

                                                        Todos sus lados son proporcionales:

Tienen los tres ángulos iguales:

Un ángulo igual y los dos lados que inician en dicho vértice son proporcionales:

Congruencia de triángulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos (3 lados y 3 ángulos), bajo ciertos criterios y condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

1. Criterio LLL:
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.


2. Criterio LAL:
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.


3. Criterio ALA:
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos del vértice en los extremos de dicho lado también son congruentes.

4. Criterio LLA:
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.

Ángulos exteriores e interiores de un triángulo

Ángulos interiores:

La suma de los ángulos interiores da igual a 180°

Ángulos exteriores:

Los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación.

Teorema de rectas paralelas & una secante

Al intersecar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

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Teorema de Pares de Ángulos

ÁNGULOS ADYACENTES
Son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Son dos ángulos que sumados valen un ángulo recto, es decir, 90º.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Son los ángulos que sumados valen dos ángulos rectos, es decir, 180º.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.